Linear algebra

相似矩阵

定义：若对于矩阵 $\text A$ 存在矩阵 $\text B$ 和可逆矩阵 $\Phi$ 满足 $\text B=\Phi^{-1}\text A\Phi$ ，那么我们称 $\text A$ 相似于 $\text B$ ，记做 $\text A\sim\text B$
相似有如下性质：

1. 反身性： $\text A\sim\text A$
2. 对称性： 如果 $\text A\sim\text B$ ，那么 $\text B\sim\text A$
3. 传递性： 如果 $\text A\sim\text B,\text B\sim\text C$ ，那么 $\text A\sim\text C$

相似矩阵有如下性质：

1. 两者的秩相等
2. 两者的行列式值相等
3. 两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同
4. 两者拥有同样的特征多项式
5. 两者可逆性相同，若均可逆，那么两者的逆矩阵同样相似

博主仅对第四点进行证明：

$$\begin{aligned} 0=|\lambda\text E-\text B|=&|\Phi^{-1}\lambda\Phi-\Phi^{-1}\text A\Phi|\\ =&|\Phi^{-1}(\lambda\text E-\text A)\Phi|\\ =&|\Phi^{-1}|\times|\lambda\text E-\text A|\times|\Phi|\\ =&0\\ \Rightarrow&|\lambda\text E-\text A|=0 \end{aligned}$$

用途

可以用于解决关于对角化矩阵的问题，假设一个矩阵 $\text A$ 与对角矩阵 $\text B$ 相似，那么有

$$\begin{aligned} \text A^m=&(\Phi^{-1}\text B\Phi)^m\\ =&\Phi^{-1}\text B(\Phi\text A\Phi^{-1})^{m-1}\Phi\\ =&\Phi^{-1}\text B^m\Phi \end{aligned}$$

问题转化为求桥接矩阵 $\Phi$ ，这个就各凭本事了

好吧还有一个定理如下：
若 $\text A$ 与对角矩阵 $\text B$ 相似，那么 $\text A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，设为 $v_i$ ，那么 $\Phi$ 就是将 $v_1\cdots v_n$ 横向拼接起来得到的矩阵

问题转化为求逆矩阵 $\Phi^{-1}$ ，这回是真的各凭本事了