常见积分，求导的公式和法则

由于博主太菜了经常忘记积分的公式于是在这里发一篇博便于自己查询

觉得早就记熟了的可以右上角溜了（

求导常见公式与法则

$$\begin{aligned} (C)'=&0\\ (x^n)'=&nx^{n-1}\ (n\not=0)\\ (\sin x)'=&\cos x\\ (\cos x)'=&-\sin x\\ (a^x)'=&a^x\ln a\ (a>0,a\not=1)\\ (e^x)'=&e^x\\ (\log_ax)'=&\frac1{x\ln a}\ (a>0,a\not=1)\\ (\ln x)'=&\frac1x\\ (f\pm g)'=&f'\pm g'\\ (f\times g)'=&f'g+g'f\\ (\frac fg)'=&\frac{f'g+g'f}{g^2}\\ (f\circ g)'=&(f'\circ g)\times g'\\ \frac{\text dy}{\text dx}=&\frac{\text dy}{\text du}\cdot\frac{\text du}{\text dx}\\ (f^{-1})'=&\frac1{f'}\\ (反函数的导数等于直接函数&导数的倒数，即 \frac{\text dy}{\text dx}=\frac{1}{\frac{\text dx}{\text dy}}\\ 莱布尼兹公式:(uv)^{(n)}=&\sum\limits_{i=0}^n\binom nku^{(n-k)}v^{(k)} \end{aligned}$$

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不定积分常见公式与法则

$$\begin{aligned} \int k\text dx=&kx+C\ (k是常数)\\ \int x^a\text dx=&\frac{x^{a+1}}{a+1}+C\ (a\not=-1)\\ \int\frac{\text dx}x=&\ln|x|+C\\ \int\frac{\text dx}{1+x^2}=&\arctan x+C\\ \int\frac{\text dx}{\sqrt{1-x^2}}=&\arcsin x+C\\ \int\cos x\text dx=&\sin x+C\\ \int\sin x\text dx=&-\cos x+C\\ \int\frac{\text dx}{\cos^2x}=&\tan x+C\\ \int\frac{\text dx}{\sin^2x}=&-\cot x+C\\ \int e^x\text dx=&e^x+C\\ \int a^x\text dx=&\frac{a^x}{\ln a}+C\\ \int(f\pm g)\text dx=&\int f\text dx\pm\int g\text dx\\ \int kf\text dx=&k\int f\text dx\\ \end{aligned}$$

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换元积分法

第一类换元积分法

$$\begin{aligned} 利用的公式：&\int(f\circ \varphi)\varphi'\text dx=(\int f\circ\mu\ \text d\mu)_{\mu=\varphi}\\ 使用方法：&假设求\int g\ \text dx，尝试构造出函数f,\varphi使得g=(f\circ\varphi)\varphi'\\ 然后&问题转化为求f的积分 \end{aligned}$$

第二类换元积分法

$$\begin{aligned} 利用的公式：&\int f\ \text dx=[\int(f\circ\psi)\psi'\text dt]_{t=\psi^{-1}}\\ 使用要求：&等式右边有原函数且\psi函数有存在且可导的反函数\\ \end{aligned}$$